ディーラーをやっつけろ！胴元の優位を崩す数学

要点

数学者でヘッジファンドマネジャーのエドワード・ソープはブラックジャックで、コンピューターシミュレーションによる基本戦略、カードカウンティング、ベッティングシステムの3つの混合戦略により、プレイヤー側が優位に立てることを発見しました。

導入

世の中はたいてい胴元が有利になるようにできています。一人の白兵に過ぎないあなたは、おおむね不利な戦いを強いられ搾取されます。あなたは労働者に生まれた時点で資本家に搾取される対象にすぎませんし、中央銀行のように好き放題お金を刷ることもできません。このような非対称性をひっくり返すことができるとすれば、それはとても興奮すべき事象です。

カジノゲームのビジネスは非常にシンプルです。カジノがゲームで儲けているのは、ゲームの背後にある数学のおかげなのだ。1920年代にドーヴィル、カンヌ、モンテカルロで開催された「ギリシャのシンジケート」のディーラーであるニコ・ゾグラフスは、カジノゲームについて次のように述べている。「運などというものは存在しない」。

いくつかの顕著な例外を除いて、長い目で見れば、カジノがプレイヤーよりも数学的に有利になるため、ハウスは常に勝つことになります。小説家マリオ・プーゾの有名な小説『愚者は死ぬ』の中で、彼の架空のカジノのボスであるグロナヴェルトが言っていたことは、このことでした。「パーセンテージは決して嘘をつかない。我々はパーセンテージの上にホテルを建てた。我々はパーセンテージの上に金持ちであり続ける。宗教と神、女性と愛、善と悪、戦争と平和、どんなものでも、 でもパーセンテージは常に安定している」。

プーゾはカジノゲームについては正論を言っています。「ハウスエッジ」（カジノ側の優位性）がなければ、カジノは存続不可能だ。この「エッジ」があり、そして「大数の法則」があるので、カジノは長期的には必ず勝つことができるのです。

ハウスアドバンテージ（胴元の優位性）

カジノゲームでのプレイヤーの勝率は、そのゲーム、そのゲームのルール、そしてゲームによってはプレイヤーのスキルレベルによって異なります。ベットが何度も何度も行われた場合、プレイヤーが長期的に予想できる報酬は、期待値と呼ばれています。プレイヤーの賭け金期待値がマイナスの場合、長期的には損をすることになります。例えば、ルーレットで赤の色に5ドル賭けた場合、期待値は-0.263ドルとなります。平均すると、プレイヤーは赤に5ドル賭けるごとに4分の1強の損失を被ることになります。

ハウス・アドバンテージとは、カジノが保持する賭け金の長期的な割合を表します。ハウスエッジは、ルーレットやクラップスなど、いくつかのゲームでは簡単に計算できますが、他のゲームでは、より高度な数学的分析やコンピュータシミュレーションを必要とします。

このプラスのハウスエッジは、カジノでは事実上すべてのベットに存在するため（ポーカールームやスポーツブックなど、一部のプロが生計を立てることができる場所は無視して）、ギャンブラーは上り坂で、長い目で見れば負け戦に直面することになります。いくつかの例外があります。クラップスのオッズベットはハウスエッジがゼロ（ただし、このベットはマイナスの期待値を賭けないとできません）で、完璧な戦略でプレイすれば100％以上のリターンが得られるビデオポーカーマシンもいくつかあります。

時折、カジノは鋭いプレイヤーにポジティブな期待感を与える「施し」を提供することがあります。このような「施し」は通常は間違いであり、カジノが計算を確認しないこともあります。しかし、大抵の場合、長期的にはプレイヤーは損をすることになり、ハウスエッジはどれだけ早くお金を失うかの指標となります。ハウスエッジが4%のゲームでベットしたプレイヤーは、ハウスエッジが2%のゲームでベットしたプレイヤーの2倍の速さで資金を失う傾向があります。賢いカジノギャンブルのコツは、少なくとも数学的な期待の観点からは、ハウスアドバンテージが大きいゲームやベットを避けることです。

ブラックジャック

ブラックジャックはテーブルゲームの中で最も人気のあるゲームであり、熟練したプレイヤーにはカジノの中でも最高のオッズを提供しています。ハウスアドバンテージは、ルールやデッキの数によって若干異なるが、基本的な戦略を持っているプレイヤーは、シングルデッキのゲームではほとんど不利になることはなく、一般的な6デッキのゲームでは0.5%のハウスエッジにしかならない．これらの数字にもかかわらず、平均的なプレイヤーは、ミスや基本戦略からの逸脱により、カジノに2%のエッジを与えることになります。

「基本戦略」の完全な表は多くの本に掲載されていますし、多くのカジノホテルのギフトショップではクレジットカードサイズの色分けされたものが販売されています。プレイヤーにとって有利なルールのバリエーションとしては、デッキの数が少ないこと、ディーラーがソフトセブンティーン（0.2％の価値）に立っていること、スプリット後にダブリングすること（0.14％）、レイトサレンダー（0.06％の価値）、アーリーサレンダー（珍しいが、0.24％の価値）などが挙げられる。ディーラーがソフトセブンティーンをヒットした場合、それはあなたがダブルダウンすることができるときに制限されるように、あなたにコストがかかります。

ブラックジャックはテーブルゲームの中で最も人気のあるゲームであり，熟練したプレイヤーにはカジノの中でも最高のオッズを提供している．ハウスアドバンテージは，ルールやデッキの数によって若干異なるが，基本的な戦略を持っているプレイヤーは，シングルデッキのゲームではほとんど不利になることはなく，一般的な6デッキのゲームでは0.5%のハウスエッジにしかならない．これらの数字にもかかわらず、平均的なプレイヤーは、ミスや基本戦略からの逸脱により、カジノに2%のエッジを与えることになる。基本戦略の完全な表は多くの本に掲載されていますし、多くのカジノホテルのギフトショップではクレジットカードサイズの色分けされたものが販売されています。プレイヤーにとって有利なルールのバリエーションとしては、デッキの数が少ないこと、ディーラーがソフトセブンティーン（0.2％の価値）に立っていること、スプリット後にダブリングすること（0.14％）、レイトサレンダー（0.06％の価値）、アーリーサレンダー（珍しいが、0.24％の価値）などが挙げられる。ディーラーがソフトセブンティーンをヒットした場合、それはプレイヤーがダブルダウンすることができるときに制限されるように、プレイヤーにコストがかかります。

ブラックジャックの戦略の起源をたどると、 第二次世界大戦が終結した 5 年後である 1950 年にまでさかのぼります。米メリーランド州のとある米国陸軍の研究者が暇つぶしで研究したものが始まりだったと言われます。

半世紀前、数学者のエドワード・ソープは、デッキに残っているカードを追跡する「カードカウンティング」を使用して、プレイヤーがブラックジャックで優位に立つ方法を概説した画期的な本『ディーラーをやっつけろ（Beat the Dealer）』を出版しました。同書にはゲームの基本的なルール、実績のある勝利戦略、カジノの対策を克服し、不正行為を発見する方法が含まれており、ブラックジャックのプレイヤーのためのバイブルになりました。この本の出版のせいでラスベガスからモンテカルロまで、テーブルの状況は変わり、ブラックジャックでの胴元の優位性はなくなりました。

ソープが使用した戦略は3つに分けられます。

第1にカードカウンティング。この戦略は未使用のデッキに残っている高いカード（10、ジャック、クイーン、キングなど）の大部分が統計的にプレイヤーの勝率を向上させるという事実に基づいています。これは、プレーヤーが16などの手札に新しいカードを引かないことを決定できるが、カジノ側はルール上、引くことを強制されているためです。プレイされていないカードのデッキに高いカードが高い割合で残っている場合、ディーラーはバスト（21を超える）する可能性が高くなります。これを、前述した何百万ものブラックジャックのハンドのコンピューターシミュレーションから開発された「基本戦略」と組み合わせました。これは、考えられる各カードの組み合わせに対してプレーヤーに最適なアクションを伝えます。

第2に「基本戦略」（ベーシックストラテジー）です。ソープは当時MITに導入されていたIBM704でブラックジャックの場合分けを計算し、先行研究が手計算で割り出した基本戦略を磨き上げました。余談ですが、MITに存在したIBM704が置かれた教室は「ハッカー」という言葉が生まれた場所でもあります。現代のテクノロジー企業にまでつながるハッカー文化を生み出したのが、MITのこのマシンなのです。

ソープが理解したことは、カードカウンティングと基本戦略を組み合わせることで、プレーヤーは（長期的な）ハウスエッジの2.7％をプレイヤーエッジに転換することができ、プレーヤーはハウスに対し約1％優位に経つことができることでした。

3つ目が、ベッティングシステムと呼ばれ る戦略です。これは、勝率や現在の所持金 をもとに、次に賭けるべき金額を決定する戦略のことです。有名な逸話では、ソープがブラックジャックの有名な論文を執筆し、出版するのを手助けしたクロード・シャノンが、元同僚のジョン・ケリーの「ケリー基準」を用いるようアドバイスした、というものがあります。ただ、エドワード・ソープは自叙伝では、彼は自分でベッティングシステムを作ったと回想しています。

ソープの『ディーラーをやっつけろ！』の反響は大きく、カジノは、カードのカウンティングを阻止するための多くの手段を導入しました。これらには、それをしている人を見つけて、単にプレイすること、またはカジノに入ることさえ禁止することが含まれます。別のアプローチは、デッキの数を通常の1から6、または8に増やすことです。一部のカジノでは、約75％のカードがプレイされた後にカードをシャッフルしたり、自動シャッフルを使用して常にシャッフルしたりするルールを採用しました。

多くのブラックジャックプレーヤーは、そのような手段に対して反発し、「確立されたスキル」を使用できるようにする必要がある、と主張しました。単独で動作するカードカウンターは比較的簡単に見つけることができるため、MITの学生たちは、チームで戦略を実行することにしました。アイデアは、他の誰かがカードを数えるということです。彼らはテーブルに座ってさえいないかもしれません。 カウントが合意された値に達すると、テーブルに参加してベットを開始する別のプレーヤーにサインを送ります。これを検出するのははるかに困難ですが、カジノは、そのような戦略と戦うためのシャッフルの後まで、プレイヤーがゲームに参加することを停止する場合があります。この顛末は『ラスベガスをぶっつぶせ（Bringing Down the House）』で書籍と映画になっています。

ソープも実際にカジノで自身の戦略を実行し、儲けました。このときの賭け金のコントロールの仕方ですが、さまざまな評伝では、ソープは、彼のブラックジャック論文に助言し、論文誌掲載の推薦をした、クロード・シャノンの助けを借り、シャノンと同じ研究所に所属していた、ジョン・ケリーが考案したケリー基準を利用していた、と記述されています。ケリー基準の考案のヒントが情報理論を基にしていたことも、話を面白くする要素ではあります。しかし、リチャード・ソープの回顧録を読むと、ケリー基準ではなく、自分で使った基準を適用して課題を解いていたことがわかります。ソープは後にケリー基準を使ってブラックジャックに挑む論文を書いています。オンラインギャンブリングで試したところ、有効な戦略であることがわかったと論文は結論づけています。

エドワード・ソープは理論も実践の双方で圧倒的な業績を残したモンスターのような人物でした。ソープは、他にも、ルーレットに勝つために、シャノンとともに、史上初のウェアラブルコンピューターを発明しました。彼はまた、金融市場での定量的投資手法の先駆者でもありました。彼が設立した、世界初のクオンツヘッジファンド Princeton Newport Partners は、18年以上にわたり、140万ドルを2億7,300万ドルに転換し、四半期ごとの損失を被ることなく、S&P 500の2倍以上の割合で増加しました。ソープは数学、オプション価格設定、（ブラックジャックを攻略するときに独学で習得した）コンピューター知識の革命的な使用により、大きな利益を上げたのです。

Image via Vintage Books

参考文献

1. Thorp, Edward O. (1984). The Mathematics of Gambling, Gambling Times, Hollywood, CA.
2. Thorp, Edward O. (1966). Beat the Dealer, Vintage Books, New York, NY.
3. エドワード・ソープ. 『天才数学者、ラスベガスとウォール街を制す 偶然を支配した男のギャンブルと投資の戦略』. ダイヤモンド社 （2019）